5 Kenngrößen und Beschreibung von Verteilungen in R

Übersicht Dataframes für diese Folien

Name	Inhalt
`d_ns_m`	Monatswerte für Niederschläge in Bochum
`d_ns_m_2008`	Monatswerte im Jahr 2008 (Bochum)
`d_ns_m_2010`	Monatswerte im Jahr 2010 (Bochum)
`d_ns_m_0810`	Monatswerte in den Jahren 2008 und 2010 (Bochum)
`d_ns_m_nha_trang_2015`	Monatswerte der Niederschläge in Nha Trang 2015

Quellen: https://www.dwd.de und https://www.gso.gov.vn

5.1 Kenngrößen von Verteilungen berechnen

Berechnung von Kenngrößen

Lagemaße

Funktion	Berechnet
`mean(x)`	Arithmetisches Mittel
`median(x)`	Median

Keine Funktionen für Modus und geometrisches/harmonisches Mittel

Streumaße

Funktion	Berechnet
`max(x) - min(x)`	Spannweite $R$
`var(x)`	Empirische Varianz $\tilde{s}^2$
`sd(x)`	Empirische Standardabweichung $\tilde{s}$

Keine Funktion für AD-Streuung

Spalten von Dataframes mit `$`

Dataframe

d <- tibble(
  A = c(1, 2, 3, 4, 5, 6),
  B = c(1, 2, 1, 2, 1, 2)
)

Spalten der beiden Merkmale

d$A

[1] 1 2 3 4 5 6

d$B

[1] 1 2 1 2 1 2

$\rightarrow$ Merkmal X von Dataframe d als Array mit d$X

Kenngrößen für Merkmale

Merkmal A

Lagemaße

mean(d$A)

[1] 3.5

median(d$A)

[1] 3.5

Streumaße

max(d$A) - min(d$A)

[1] 5

var(d$A)

[1] 3.5

sd(d$A)

[1] 1.870829

Merkmal B

Lagemaße

mean(d$B)

[1] 1.5

median(d$B)

[1] 1.5

Streumaße

max(d$B) - min(d$B)

[1] 1

var(d$B)

[1] 0.3

sd(d$B)

[1] 0.5477226

Mit echten Daten…

Niederschlag in Bochum

Beobachtungszeitraum: Spannweite von Merkmal `Jahr`

max(d_ns_m$Jahr) - min(d_ns_m$Jahr)

[1] 86

Mittelwert, Median und Standardabweichung

Im Jahr 2008

mean(d_ns_m_2008$Niederschlag)

[1] 72.45

median(d_ns_m_2008$Niederschlag)

[1] 71.8

sd(d_ns_m_2008$Niederschlag)

[1] 22.23447

Im Jahr 2010

mean(d_ns_m_2010$Niederschlag)

[1] 73.05

median(d_ns_m_2010$Niederschlag)

[1] 70.15

sd(d_ns_m_2010$Niederschlag)

[1] 46.71366

(Zahlenwerte aus dem Skript)

Bestimmte Werte darstellen mit `geom_vline()` und `geom_hline()`

Minimalbeispiel (mit Dataframe)

d <- tibble(A = c(1, 2, 3), B = c(0, 4, 5))
ggplot(data = d) +
  geom_hline(mapping = aes(yintercept = A)) + geom_vline(mapping = aes(xintercept = B))

Schnittpunkte mit Achsen via xintercept bzw. yintercept

Minimalbeispiel (mit Zahlenwerten)

ggplot() +
  geom_hline(yintercept = c(1, 2, 3)) + geom_vline(xintercept = c(0, 4, 5))

Werte können auch direkt angegeben werden (anstatt aus Dataframe)
Dann kein Mapping erforderlich

Mit echten Daten…

Histogramm mit Mittelwert

ggplot(data = d_ns_m) +
  geom_histogram(mapping = aes(x = Niederschlag), binwidth = 10, boundary = 0) +
  geom_vline(xintercept = mean(d_ns_m$Niederschlag), color = "red")

Ohne c(...) wenn nur ein Wert dargestellt werden soll
Linienfarbe mit color

Mit emp. Verteilungsfunktion

ggplot(data = d_ns_m) +
  geom_step(mapping = aes(x = Niederschlag), stat = "ecdf") +
  geom_hline(yintercept = c(0.2, 0.5, 0.9), color = "blue")

Monatsniederschläge mit Mittelwert

ggplot(data = d_ns_m_0810, mapping = aes(x = Monat, y = Niederschlag, group = Jahr, color = Jahr)) +
  geom_hline(yintercept = mean(d_ns_m_0810$Niederschlag)) +
  geom_line() + geom_point()

3 Layer übereinander, Reihenfolge beachten
Linien mit geom_line() (später im Detail)

Abweichungen vom Mittelwert

nmw <- mean(d_ns_m_0810$Niederschlag)
ggplot(data = d_ns_m_0810) +
  geom_col(mapping = aes(x = Monat, y = Niederschlag - nmw, fill = Jahr))

Mittelwert abziehen
Säulen nebeneinander mit position = "dodge

5.2 Quantile berechnen mit `quantile()`

Funktion `quantile()`

d <- tibble(X = c(1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 6, 9, 10, 10, 12, 13, 13, 13, 16, 17, 18, 19, 20))
quantile(d$X, probs = c(0.2, 0.25, 0.5, 0.9), type = 2)

 20%  25%  50%  90% 
 4.0  5.0 10.0 18.5

Funktionsweise

Gesuchte Quantilen mit probs = c(...) angeben
Es gibt verschiedene Definitionen der Quantilwerte
Unsere Definition mit type = 2
Ergebnis ist ein Named Vector

Quantile und emp. Verteilungsfunktion

p <- c(0.2, 0.25, 0.5, 0.9)
q <- quantile(d$X, p, type = 2)
ggplot(data = d) +
  geom_hline(yintercept = p, color = "blue") + geom_vline(xintercept = q, color = "red") +
  geom_step(mapping = aes(x = X), stat = "ecdf")

Werte und Quantile in Variablen p und q

5.3 Boxplots mit `geom_boxplot()`

Monatliche Niederschläge Bochum (alle Jahre)

ggplot(data = d_ns_m) +
  geom_boxplot(mapping = aes(y = Niederschlag))

Merkmal für y-Koordinate

Monatliche Niederschläge Bochum (2008 und 2010)

ggplot(data = d_ns_m_0810) +
  geom_boxplot(mapping = aes(x = Jahr, y = Niederschlag))

Mehrere Boxplots mit Angabe von Merkmal für x-Koordinate
Funktioniert nur für diskretes Merkmal (Details später)

Monatliche Niederschläge (alle Jahre einzeln) 1/2

ggplot(data = d_ns_m) +
  geom_boxplot(mapping = aes(x = Jahr, y = Niederschlag))

Warum funktioniert das nicht?

Merkmal Jahr jetzt mit vielen verschiedenen Ausprägungen
Für ggplot ist das dann ein kontinuierliches Merkmal
Angabe von x wird ignoriert, nur eine Box!

Monatliche Niederschläge (alle Jahre einzeln) 2/2

ggplot(data = d_ns_m) +
  geom_boxplot(mapping = aes(x = factor(Jahr), y = Niederschlag))

Mit factor(Jahr) kennzeichnen, dass Jahr diskretes Merkmal

5.4 Lorenzkurve und Gini-Koeffizient

Aus dem Paket ineq (installieren)

Beispiel aus dem Skript

Lorenzkurve berechnen

d <- tibble(A = c(4, 4, 4, 4, 4), B = c(1, 1, 1, 1, 16), C = c(2, 3, 4, 5, 6))
lc_A <- Lc(d$A)
lc_B <- Lc(d$B)
lc_C <- Lc(d$C)

Funktion Lc aus Paket ineq

Ergebnis

lc_B$p

[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

lc_B$L

[1] 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 1.00

Koordinaten $u_j$ mit $p und $v_j$ mit $L

Als Dataframe (Details später)

Eigene Funktion um Ergebnis von Lc in Dataframe zu konvertieren

lc_to_tibble <- function(lc) { tibble(u = lc$p, v = lc$L) }

Beispiel

lc_to_tibble(lc_B)

Eigene Funktion um Dataframe aus Ergebnis von Lc zu erzeugen
Details hierzu später

Bänder mit `geom_ribbon()`

Minimalbeispiel 1/2

d <- tibble(A = c(1, 2, 3, 4), B = c(1, 0, 1, 3), C = c(3, 5, 6, 5))
ggplot(data = d) + geom_ribbon(mapping = aes(x = A, ymin = B, ymax = C))

Plottet Bereich zwischen Wertepaaren ymin und ymax

Minimalbeispiel 2/2

ggplot(data = d) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = A, ymax = C, ymin = 0))

Es kann auch ein fester Wert angegeben werden

Lorenzkurve Merkmal A (Skript)

ggplot(data = lc_to_tibble(lc_A)) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = u, ymin = v, ymax = u), color = "black", fill = "linen") +
  geom_point(mapping = aes(x = u, y = v))

Farben mit color und fill

Lorenzkurve Merkmal B (Skript)

ggplot(data = lc_to_tibble(lc_B)) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = u, ymin = v, ymax = u), color = "black", fill = "linen") +
  geom_point(mapping = aes(x = u, y = v))

Farben mit color und fill

Lorenzkurve Merkmal C (Skript)

ggplot(data = lc_to_tibble(lc_C)) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = u, ymin = v, ymax = u), color = "black", fill = "linen") +
  geom_point(mapping = aes(x = u, y = v))

Farben mit color und fill

Mit echten Daten…

Niederschläge Bochum (2008)

d <- Lc(d_ns_m_2008$Niederschlag)
ggplot(data = lc_to_tibble(d)) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = u, ymin = v, ymax = u), color = "black", fill = "linen") +
  geom_point(mapping = aes(x = u, y = v))

Niederschläge Nha Trang (2015)

d <- Lc(d_ns_m_nha_trang_2015$Niederschlag)
ggplot(data = lc_to_tibble(d)) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = u, ymin = v, ymax = u), color = "black", fill = "linen") +
  geom_point(mapping = aes(x = u, y = v))

Gini-Koeffizient

Wieder aus dem Paket `ineq` (jetzt installiert)

Minimalbeispiel

Gini(c(0, 0, 0, 0, 1))

[1] 0.8

Gini(c(1, 1, 1, 2, 3))

[1] 0.25

Gini(c(1, 1, 1, 1, 1))

[1] 0

Gini(c(10, 10, 10, 10, 10))

[1] 0

Berechnung des Gini-Koeffizienten mit Gini(<Werte>)
Der Wert wird nicht normiert
Normierung auf $G^*$ falls notwendig mit Faktor $n / (n - 1)$

Niederschläge

Gini-Koeffizienten Bochum und Nha Trang

Gini(d_ns_m_2008$Niederschlag)

[1] 0.1656315

Gini(d_ns_m_nha_trang_2015$Niederschlag)

[1] 0.7196082

Lorenz-Münzer-Koeffizienten Bochum und Nha Trang

12 / 11 * Gini(d_ns_m_2008$Niederschlag)

[1] 0.1806889

12 / 11 * Gini(d_ns_m_nha_trang_2015$Niederschlag)

[1] 0.7850271

5.5 Zusammenfassung

Linien: `geom_hline()` & `geom_vline()`

Werte aus Dataframe

ggplot(data = d) +
  geom_hline(mapping = aes(yintercept = <M>), Argumente) +
  geom_vline(mapping = aes(xintercept = <M>), Argumente)

Werte direkt angegeben

ggplot() +
  geom_hline(yintercept = c(...), Argumente) +
  geom_vline(xintercept = c(...), Argumente)

AES/Argumente	Beschreibung	Optional
xintercept	Schnittpunkte mit x-Achse	Nein
yintercept	Schnittpunkte mit y-Achse	Nein
color	Linienfarbe	Ja
size	Linienstärke	Ja

Boxplots mit `geom_boxplot()`

ggplot(data = d) +
  geom_boxplot(mapping = aes(x = <M>, y = <M>), Argumente)

AES	Beschreibung	Optional
x	Merkmal für x-Achse (diskret)	Ja
y	Merkmal, das dargestellt werden soll	Nein

Argumente	Beschreibung
varwidth	Breite entsprechend Anzahl Werte (TRUE oder FALSE)

Bänder mit `geom_ribbon()`

ggplot(data = d) +
  geom_ribbon(mapping = aes(x = <M>, ymin = <M>, ymax = <M>), Argumente)

AES	Beschreibung	Optional
x	Position auf x-Achse	Nein
ymin	Unterer Wert	Nein
ymax	Oberer Wert	Nein

Argumente	Beschreibung
color	Linienfarbe
fill	Füllfarbe

Übersicht Dataframes für diese Folien

5.1 Kenngrößen von Verteilungen berechnen

Berechnung von Kenngrößen

Lagemaße

Streumaße

Spalten von Dataframes mit $

Dataframe

Spalten der beiden Merkmale

Kenngrößen für Merkmale

Merkmal A

Lagemaße

Streumaße

Merkmal B

Lagemaße

Streumaße

Mit echten Daten…

Niederschlag in Bochum

Beobachtungszeitraum: Spannweite von Merkmal Jahr

Mittelwert, Median und Standardabweichung

Im Jahr 2008

Im Jahr 2010

Bestimmte Werte darstellen mit geom_vline() und geom_hline()

Minimalbeispiel (mit Dataframe)

Minimalbeispiel (mit Zahlenwerten)

Mit echten Daten…

Histogramm mit Mittelwert

Mit emp. Verteilungsfunktion

Monatsniederschläge mit Mittelwert

Abweichungen vom Mittelwert

5.2 Quantile berechnen mit quantile()

Funktion quantile()

Funktionsweise

Quantile und emp. Verteilungsfunktion

5.3 Boxplots mit geom_boxplot()

Monatliche Niederschläge Bochum (alle Jahre)

Monatliche Niederschläge Bochum (2008 und 2010)

Monatliche Niederschläge (alle Jahre einzeln) 1/2

Warum funktioniert das nicht?

Monatliche Niederschläge (alle Jahre einzeln) 2/2

5.4 Lorenzkurve und Gini-Koeffizient

Beispiel aus dem Skript

Lorenzkurve berechnen

Ergebnis

Als Dataframe (Details später)

Bänder mit geom_ribbon()

Minimalbeispiel 1/2

Minimalbeispiel 2/2

Lorenzkurve Merkmal A (Skript)

Lorenzkurve Merkmal B (Skript)

Lorenzkurve Merkmal C (Skript)

Mit echten Daten…

Niederschläge Bochum (2008)

Niederschläge Nha Trang (2015)

Gini-Koeffizient

Wieder aus dem Paket ineq (jetzt installiert)

Minimalbeispiel

Niederschläge

Gini-Koeffizienten Bochum und Nha Trang

Lorenz-Münzer-Koeffizienten Bochum und Nha Trang

5.5 Zusammenfassung

Linien: geom_hline() & geom_vline()

Werte aus Dataframe

Werte direkt angegeben

Boxplots mit geom_boxplot()

Bänder mit geom_ribbon()

Spalten von Dataframes mit `$`

Beobachtungszeitraum: Spannweite von Merkmal `Jahr`

Bestimmte Werte darstellen mit `geom_vline()` und `geom_hline()`

5.2 Quantile berechnen mit `quantile()`

Funktion `quantile()`

5.3 Boxplots mit `geom_boxplot()`

Bänder mit `geom_ribbon()`

Wieder aus dem Paket `ineq` (jetzt installiert)

Linien: `geom_hline()` & `geom_vline()`

Boxplots mit `geom_boxplot()`

Bänder mit `geom_ribbon()`