5  5 Trend & Saison

6 5 Trend & Saison

Viele Zeitreihen enthalten systematische Strukturen:

  • Trend: langfristige Entwicklung (steigend/fallend)
  • Saison: periodisch wiederkehrendes Muster
  • Residuum: verbleibende Schwankung

Diese Zerlegung ist ein Denkmodell, das hilft, Struktur systematisch zu analysieren.

Merke

Trend beschreibt eine langsame Veränderung, Saison beschreibt eine regelmäßige Wiederholung.

6.1 5.1 Beispielsignal

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(10)

t = pd.date_range("2025-01-01", periods=24*14, freq="H")
trend = np.linspace(0, 4, len(t))
season = 1.2 * np.sin(2*np.pi*(t.hour)/24)
noise = 0.4 * rng.normal(size=len(t))

s = pd.Series(20 + trend + season + noise, index=t, name="signal")

s.plot(title="Signal mit Trend und Tages-Saison")
plt.show()
/var/folders/p_/ks3trxjx0jd839_g4g0vm4nc0000gn/T/ipykernel_19353/1321060591.py:7: FutureWarning: 'H' is deprecated and will be removed in a future version, please use 'h' instead.
  t = pd.date_range("2025-01-01", periods=24*14, freq="H")

6.2 5.2 Saison sichtbar machen

6.2.1 Mittelwert pro Stunde

season_hour = s.groupby(s.index.hour).mean()

season_hour.plot(marker="o")
plt.title("Durchschnittlicher Tagesverlauf (0–23h)")
plt.xlabel("Stunde")
plt.ylabel("Mittelwert")
plt.show()

Interpretation

Ein periodisches Muster in dieser Darstellung deutet auf Tages-Saison hin.

6.3 5.3 Trend schätzen (starke Glättung)

trend_est = s.rolling("72H").mean()

ax = s.plot(alpha=0.4, label="Signal")
trend_est.plot(ax=ax, linewidth=2, label="Trend (Rolling 72H)")
plt.legend()
plt.title("Trend-Schätzung")
plt.show()
/var/folders/p_/ks3trxjx0jd839_g4g0vm4nc0000gn/T/ipykernel_19353/1951088130.py:1: FutureWarning: 'H' is deprecated and will be removed in a future version, please use 'h' instead.
  trend_est = s.rolling("72H").mean()

import numpy as np

y = s.to_numpy()

def moving_average(y, window):
    kernel = np.ones(window) / window
    return np.convolve(y, kernel, mode="same")

trend_np = moving_average(y, 72)

plt.plot(y, alpha=0.4, label="Signal")
plt.plot(trend_np, linewidth=2, label="Trend (MA 72)")
plt.legend()
plt.title("Trend-Schätzung (NumPy)")
plt.show()

6.4 5.4 Residuum berechnen (vereinfachte Zerlegung)

Wir entfernen Trend und Saison grob:

season_map = s.index.hour.map(season_hour)
residual = s - trend_est - season_map

residual.plot(title="Residuum (vereinfachte Zerlegung)")
plt.show()

Achtung

Diese Zerlegung ist didaktisch vereinfacht. In der Praxis existieren robustere Verfahren (z. B. STL). Hier geht es um das Prinzip.

6.5 5.5 Additives vs Multiplikatives Modell

Additives Modell:

Signal = Trend + Saison + Rauschen

Multiplikatives Modell:

Signal = Trend × Saison × Rauschen

Multiplikative Modelle sind sinnvoll, wenn die Amplitude der Saison mit dem Niveau wächst.

6.6 5.6 Mini-Aufgaben

  1. Erhöhen Sie die Trendsteigung.
    • Wie beeinflusst das die Erkennung der Saison?
  2. Erzeugen Sie eine Wochen-Saison (Periodenlänge 7 Tage).
    • Wie würden Sie diese sichtbar machen?
  3. Testen Sie ein sehr großes Rolling-Fenster (z. B. 120H).
    • Welche Struktur bleibt übrig?