In der Datei ‘01-daten/messdaten-ballonfahrt.txt’ sind Messdaten zur Höhe eines Ballons während einer Ballonfahrt gespeichert. In der ersten Zeile der Datei sind die gemessenen Größen und ihre Einheit notiert.
# Dateikopf als String einlesen
ballon = np.genfromtxt("01-daten/messdaten-ballonfahrt.txt", delimiter=",", max_rows= 4, dtype='str')
print("Der Kopf der Datei:")
print(ballon)Der Kopf der Datei:
[['Zeit (s)' 'Hoehe (m)']
['0.0' '49.93175839467537']
['2.0202020202020203' '52.11727320291297']
['4.040404040404041' '50.0624468191306']]Schauen wir uns die Daten einmal an:
Gesucht ist ein Polynom, das die Steiggeschwindigkeit, also die Änderung der Höhe mit der Zeit, des Heißluftballons beschreibt.
Schreiben Sie ein Programm, das:
Stellen Sie die Höhe, die Geschwindigkeit und den Fit jeweils gegen die Zeit dar. Beschriften Sie die Achsen.
Zuerst werden die Daten ausgelesen.
# Daten auslesen
ballon = np.genfromtxt("01-daten/messdaten-ballonfahrt.txt", delimiter=",", skip_header=1)
zeit = ballon[:, 0]
hoehe = ballon[:, 1]Anschließend berechnen wir die Steiggeschwindigkeit \(\frac{\Delta Höhe}{\Delta Zeit}\). Dazu verwenden wir die Funktion np.diff(). Diese berechnet die Differenz jedes Werts zu seinem Vorgänger ergebnis[i] = wert[i+1] - wert[i]. Für den i-ten Wert wird also keine Differenz berechnet und das Ergebnis ist um ein Element kürzer. Die Steiggeschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) ergibt sich aus dem Quotienten beider Reihen.
# Differenzen berechnen
delta_hoehe = np.diff(hoehe)
print("Veränderung der Höhe: ", delta_hoehe[0:4])
delta_zeit = np.diff(zeit)
print("Veränderung der Zeit: ", delta_zeit[0:4])
# Steiggeschwindigkeit berechnen
steiggeschwindigkeit = delta_hoehe / delta_zeit
print("Steiggeschwindigkeit: ", steiggeschwindigkeit[0:4])Veränderung der Höhe: [ 2.18551481 -2.05482638 0.32026988 1.12796595]
Veränderung der Zeit: [2.02020202 2.02020202 2.02020202 2.02020202]
Steiggeschwindigkeit: [ 1.08182983 -1.01713906 0.15853359 0.55834314]Mit numpy.polynomial.polynomial.polyfit() berechnen wir erst ein Polynom dritten Grades und dann mit numpy.polynomial.polynomial.polyval() die gefitteten Daten.
polynom3_steiggeschwindigkeit = poly.polyfit(zeit[:-1], steiggeschwindigkeit, deg = 3)
fit_steiggeschwindigkeit = poly.polyval(x = zeit[:-1], c = polynom3_steiggeschwindigkeit)# plotten
plt.suptitle("Ballonfahrt")
## subplot Höhe über Zeit
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.scatter(zeit, hoehe)
plt.title("Höhe")
plt.xlabel("Zeit (s)")
plt.ylabel("Höhe (m)")
plt.grid(True)
## subplot Steiggeschwindigkeit über Zeit
## Länge des Arrays Steiggeschwindigkeit ist n-1
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.scatter(zeit[:-1], steiggeschwindigkeit)
plt.title("Steiggeschwindigkeit")
plt.xlabel("Zeit (s)")
plt.ylabel("Steiggeschwindigkeit (m/s)")
plt.grid(True)
## subplot Polynom 3. Grades Steiggeschwinkdigkeit über Zeit
## Länge des Arrays Steiggeschwindigkeit ist n-1
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(zeit[:-1], fit_steiggeschwindigkeit)
plt.title("interpolierte\nSteiggeschwindigkeit")
plt.xlabel("Zeit (s)")
plt.ylabel("Steiggeschwindigkeit (m/s)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
Ein Träger wird in der Mitte belastet.
Balkenverformung von Universität der Bundeswehr München. Das Werk ist abrufbar auf der Internetseite der UniBw M. ohne Jahr
Schauen wir uns die Struktur der Daten einmal an.
balken = np.genfromtxt("01-daten/balken-durchbiegung.csv", delimiter=",", max_rows= 4, dtype='str')
print("Der Kopf der Datei:")
print(balken)Der Kopf der Datei:
[['Position (m)' 'Durchbiegung (mm)']
['0.0' '-0.28820719619532215']
['0.20408163265306123' '-0.22193122300286544']
['0.40816326530612246' '0.013978362500916705']]Die Durchbiegung wird an 50 Punkten gemessen. Glätten Sie die Daten und stellen Sie die gemessenen und die geglätteten Daten gemeinsam dar.
balken = np.genfromtxt("01-daten/balken-durchbiegung.csv", delimiter=",", skip_header=1)
x = balken[:, 0]
y = balken[:, 1]
window = 7
weights = np.ones(window) / window
y_smooth = np.convolve(y, weights, mode='valid')
plt.plot(x, y, label="Messung", alpha=0.5)
plt.plot(x[(window-1)//2:-(window//2)], y_smooth, label="Geglättet", color='red')
plt.title("Durchbiegung eines Trägers")
plt.xlabel("Position (m)")
plt.ylabel("Durchbiegung (mm)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Die Datei ‘01-daten/neutronen.txt’ enthält Daten eines Neutronenstreuexperiments. Der Dateikopf:
# Dateikopf als String einlesen
neutronen = np.genfromtxt("01-daten/neutronen.txt", delimiter="\t", max_rows= 4, dtype='str')
print(neutronen)[['E(MeV)' 'sigma(mb)' 'Delta sigma(mb)']
['0.00' '10.60' ' 1.39']
['25.00' '16.00' ' 2.09']
['50.00' '45.00' ' 3.85']]In der Spalte ‘E(MeV)’ ist die Energie eines Neutrons, das auf ein Ziel geschossen wird, in Megaelektronenvolt eingetragen. In der Spalte ‘sigma(mb)’ ist der Wirkungsquerschnitt, gemessen in Millibarn (mb), eingetragen. In der Spalte ‘Delta sigma(mb)’ ist die Unsicherheit des gemessenen Wirkungsquerschnitts, ebenfalls in Millibarn (mb), eingetragen.
neutronen = np.genfromtxt("01-daten/neutronen.txt", delimiter="\t", skip_header=1)
neutronenenergie = neutronen[:, 0]
wirkungsquerschnitt = neutronen[:, 1]
plt.plot(neutronenenergie, wirkungsquerschnitt, label="Messdaten", alpha=0.5)
plt.xlabel("Neutronenenergie (MeV)")
plt.ylabel("Wirkungsquerschnitt (mb)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
# Polynom
polynom5 = poly.polyfit(neutronenenergie, wirkungsquerschnitt, deg = 5)
fit = poly.polyval(x = neutronenenergie, c = polynom5)
# Splines mit scipy
splines3 = si.splrep(neutronenenergie, wirkungsquerschnitt)
y_splines3 = si.splev(neutronenenergie, splines3)
# Splines mit NumPy
x_neu = np.linspace(neutronenenergie.min(), neutronenenergie.max(), num=50)
y_splines1 = np.interp(x_neu, neutronenenergie, wirkungsquerschnitt) # linear interpolierenplt.figure(figsize = [7, 5])
# Vergleich mit kubischen Splines
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(neutronenenergie, wirkungsquerschnitt, linewidth = 5, alpha=0.3, label="Messdaten")
plt.plot(neutronenenergie, fit, label = "gefittetes Polynom")
plt.plot(neutronenenergie, y_splines3, linestyle = 'dashdot', label = "kubische Splines")
plt.xlabel("Neutronenenergie (MeV)")
plt.ylabel("Wirkungsquerschnitt (mb)")
plt.legend()
plt.grid(True)
# Vergleich mit linearen Splines
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(neutronenenergie, wirkungsquerschnitt, linewidth = 5, alpha=0.3, label="Messdaten")
plt.plot(neutronenenergie, fit, label = "gefittetes Polynom")
plt.plot(x_neu, y_splines1, linestyle = 'dotted', label = 'lineare Splines')
plt.xlabel("Neutronenenergie (MeV)")
plt.ylabel("Wirkungsquerschnitt (mb)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
5.: Die Splines bilden die Daten exakt nach. Das kann ein Vorteil sein, wenn keine Glättung der Daten gewünscht ist. Das Polynom ist dagegen nicht exakt an die Daten angepasst. Dafür können alle Datenpunkte mit einer einzigen Modellgleichung approximiert werden.